Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.
Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos pararesolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va aresolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Factorización:
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto defactores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:
1) x2 - 4x = 0
2) x2 - 4x = 12
3) 12x2 - 17x + 6 = 0
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por esotenemos que conocer otros métodos.
Raíz cuadrada:
Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.
Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a :
Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada:
1) x2 - 9 = 0
2) 2x2 - 1 = 0
3) (x - 3)2 = -8
Completando el cuadrado:
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:
x2 + bx + ?
Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad delcoeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son
x2 + bx es :
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalenteel número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:
1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0
Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:
La expresión:
conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de solucionesy el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de: |
Tipo de solución |
positivo | dos soluciones reales |
cero | una solución real |
negativo | dos soluciones imaginarias |
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática:
1) x2 + 8x + 6 = 0
2) 9x2 + 6x + 1 = 0
3) 5x2 - 4x + 1 = 0
Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.
Práctica: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
1) x2 - x - 20 = 0 (por factorización)
2) x2 - 8 = 0 (por raíz cuadrada)
3) x2 - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)
4) 9x2 + 6x = 1 (fórmula cuadrática)
